مهندسی خواص جرمی - فن و دانش: مرکز جرم، گشتاور ماند، مقاله و پژوهش‌های دانشجویی


1. مرکز جرم مرکز جرم (center of mass) یک جسم را می‌توان به عنوان نقطه‌ای که تمام جرم جسم در آن متمرکز شده و تمام نیروهای خارجی به آن نقطه اثر می‌کنند، تعریف کرد. برای یک جسم صلب، مکان مرکز جرم نسبت به آن ثابت است و نقطه‌ای مادی متعلق به آن جسم است. باید توجه داشت که مرکز جرم لزوماً منطبق با مرکز هندسی (geometric center) یک جسم نیست. مرکز ثقل (Center of Gravity) را می‌توان به عنوان نقطه اثر برآیند نیروهای گرانشی وارد بر یک جسم تعریف کرد. هنگامی که جسم در یک میدان گرانشی یکنواخت قرار دارد، مرکز جرم و مرکز ثقل آن بر هم منطبق هستند. اما در میدان‌های گرانشی غیریکنواخت، این دو نقطه با هم متفاوتند و این مسأله باعث ایجاد گشتاور گرانشی کوچک اما قابل اندازه‌گیری می‌شود. مختصات مرکز جرم تعداد زیادی ذره که الزاماً در یک صفحه نیستند بلکه در فضا توزیع شده اند، از روابط زیر قابل محاسبه است:

که در آن M برابر با جرم کل دستگاه است. به طور کلی مرکز جرم دستگاهی از ذرات که با r نشان داده می‌شود، به عنوان میانگین موقعیت‌های هر ذره (r) با جرم m تعریف می‌شود.

و یا برای اجسام پیوسته داریم:

برای یک توزیع پیوسته جرم با چگالی و جرم کل M، رابطه جمع بالا به فرم انتگرالی زیر تبدیل خواهد شد:

روش‌های متداول اندازه‌گیری مرکز ثقل شامل سیستم آویز، تک تکیه‌گاه، چند تکیه‌گاه و سیستم‌های دورانی‌اند. در این میان سیستم دورانی، دینامیکی و بقیه در دسته روش‌های استاتیک به شمار می‌روند. انتخاب هر یک از این روش‌ها به فرم، ابعاد و وزن قطعه کار و نیز دقت مورد نظر در تعیین مرکز ثقل بستگی دارد. در برخی طراحی‌ها تعیین موقعیت مرکز ثقل به‌عنوان مقدمه‌ای برای تعیین تانسور ممان اینرسی حول نقطه CG است. نمونه کاربرد آن‌را می‌توان در طراحی سیستم کنترل راکت‌ها، موشک‌های ماهواره‌بر و فضاپیماها مشاهده نمود. در بعضی موارد تعیین مرکز ثقل، خود به خود هدفی برای حفظ تعادل وسیله نقلیه است. تنظیم بار هواپیماها و کشتی‌ها که توسط افراد متخصص این حرفه (load-master) انجام می‌گیرد، نمونه‌هایی از این کاربرد می‌باشد. در صنعت هوایی و دریایی، این تخصص با عنوان تنظیم وزن و تعادل (Weight & Balance) شناخته می‌شود.

بازگشت به ابتدای صفحه



2. ممان اینرسی ممان اینرسی (Moment of Inertia)، لنگر لختی یا همان گشتاور ماند در واقع میزان مقابله جسم در برابر چرخش از حالت طبیعی حول محور مشخصی است. به ممان اینرسی، اینرسی دورانی نیز می‌گویند. در واقع ممان اینرسی همان نقشی را که جرم ماده در دینامیک خطی دارد، در دینامیک دورانی بازی می‌کند. این پارامتر رابطه‌ی بین ممنتوم زاویه‌ای با سرعت زاویه‌ای، گشتاور با شتاب زاویه‌ای و چندین پارامتر دیگر را بیان می‌کند. بنا به تعریفی دیگر ممان اینرسی مجموع جرم هر المان از یک ماده است که در فاصله آن از محور چرخش به توان دو ضرب گردیده است.

در این فرمول r فاصله هر قسمت از محور چرخش است و همچنین m نیز جرم هر المان می‌باشد. در حال پیوسته نیز ممان اینرسی از فرمول زیر که همان فرم انتگرالی ممان اینرسی است، بدست می‌آید:

برای اطلاعات بیشتر به این آدرس مراجعه نمایید: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html
تا کنون روش‌های مختلفی برای اندازه‌گیری ممان اینرسی ابداع شده که همگی بر پایه رابطه M=Iα می‌باشند. مهم‌ترین این روش‌ها آونگ پیچشی و حرکت دورانی هستند. در روش آونگ پیچشی ابتدا یک گشتاور معین به جسم اعمال می‌شود. سپس با اندازه‌گیری تناوب نوسانات مقدار α به‌دست می‌آید. با قرار دادن این مقادیر در رابطه فوق می‌توان مقدار I را به‌دست آورد. در روش حرکت دورانی با اعمال گشتاور ثابتی به جسم جامد توسط یک الکتروموتور، شتاب زاویه‌ای ایجاد شده در آن را اندازه می‌گیرند. مقدار گشتاور اعمال شده با اندازه‌گیری فاکتورهای تغذیه الکتروموتور و مقدار شتاب زاویه‌ای نیز با اندازه‌گیری زمان رسیدن به یک rpm معین به دست می‌آید. در زیر تصاویر ساده‌ای از وسایل اندازه‌گیری با روش‌های مذکور را مشاهده می‌کنید.

در طراحی سیستم نیروی محرک برای انجام مانور‌های وضعی اجسام متحرک مثلا یک هواپیما، گشتاورهایی مشابه روابط زیر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در محاسبات استحکامی سازه‌ها مانند حداکثر لنگر خمشی مجاز بر روی یک تیر فولاد ساختمانی، از ممان اینرسی با عنوان لنگر دوم سطح یاد شده و به صورت زیر از فرمول محاسبه تنش به‌دست می‌آید.


بازگشت به ابتدای صفحه



3. حاصلضرب اینرسی در یک تانسور ممان اینرسی که به صورت زیر نوشته می شود:

عناصر غیر قطری، ممان ضربی یا حاصل‌ضرب اینرسی (Product of Inertia) نامیده می‌شود. برای یک جسم صلب حاصل‌ضرب اینرسی طبق تعریف برابر است با:

بنا به‌قانون تقارن، در تانسور فوق I_yz ،I_zx ،I_xz ،I_yx ،I_xy و I_zy دو به دو با هم مساویند. برعکس ممان اینرسی اصلی، ممان‌های اینرسی ضربی می‌توانند منفی یا صفر هم باشند. سیستم‌های اندازه‌گیری حاصل ضرب اینرسی عمدتاً دورانی هستند. در توسعه یک برنامه جامع کنترلی برای اجسام صلب، نیاز به تانسور ممان‌های اینرسی با مولفه‌های کامل می‌باشد. همچنین برای محاسبه انرژی جنبشی دورانی، تکانه زاویه‌ای و نیز گشتاور مورد نیاز برای دوران یک جسم جامد با شتاب زاویه‌ای α به ترتیب از روابط زیر استفاده می‌شود:


بازگشت به ابتدای صفحه